「式の展開・因数分解・平方根」完全解説

中3数学の前半は、
高校入試でも超重要な単元です。

特に、

• 展開
• 因数分解
• 平方根

は、高校数学にも直結します。

ここを理解すると、
計算力が一気に上がります。

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① 式の展開

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展開とは？

カッコを外して、
式を広げることです。

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例

$$(x+3)(x+5)$$(x+3)(x+5)

を広げる。

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基本ルール

「全部にかける」

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$$(x+3)(x+5)$$(x+3)(x+5)

まずxを両方へ。$$x^2+5x$$x2+5x

次に3を両方へ。$$3x+15$$3x+15

まとめる。$$x^2+8x+15$$x2+8x+15

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展開の重要公式

これを覚えると速い。

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乗法公式①

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a+b)2=a2+2ab+b2

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例

$$(x+4)^2$$(x+4)2

$(x+4)^2=x^2+8x+16$(x+4)2=x2+8x+16

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ポイント

真ん中は、$$2\times x\times4$$2×x×4

です。

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乗法公式②

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$(a−b)2=a2−2ab+b2

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例

$(x-3)^2=x^2-6x+9$(x−3)2=x2−6x+9

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乗法公式③

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$(a+b)(a−b)=a2−b2

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例

$(x+7)(x-7)=x^2-49$(x+7)(x−7)=x2−49

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この公式のメリット

真ん中が消える。

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展開でよくあるミス

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① 真ん中を書き忘れる

間違い

$$(x+2)^2=x^2+4$$(x+2)2=x2+4

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正しい

$$x^2+4x+4$$x2+4x+4

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② マイナスミス

$$(x-5)^2$$(x−5)2

↓$$x^2-10x+25$$x2−10x+25

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② 因数分解

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因数分解とは？

展開の逆。

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例

$$x^2+8x+15$$x2+8x+15

を、$$(x+3)(x+5)$$(x+3)(x+5)

へ戻す。

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因数分解の基本

共通因数を探す

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例

$$3x+6$$3x+6

3が共通。$$=3(x+2)$$=3(x+2)

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乗法公式を逆に使う

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パターン①

$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$a2+2ab+b2=(a+b)2

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例

$$x^2+6x+9$$x2+6x+9

真ん中を見る。$$6x=2\times x\times3$$6x=2×x×3

最後は$$3^2$$32

なので、

$x^2+6x+9=(x+3)^2$x2+6x+9=(x+3)2

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パターン②

$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$a2−2ab+b2=(a−b)2

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例

$x^2-10x+25=(x-5)^2$x2−10x+25=(x−5)2

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パターン③

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$a2−b2=(a+b)(a−b)

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例

$x^2-16=(x+4)(x-4)$x2−16=(x+4)(x−4)

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因数分解のコツ

「最後の数字」に注目

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例

$$x^2+7x+12$$x2+7x+12

12になる数で、
足すと7。

→3と4。$$(x+3)(x+4)$$(x+3)(x+4)

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因数分解でよくあるミス

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① 符号ミス

$$x^2-5x+6$$x2−5x+6

↓$$(x-2)(x-3)$$(x−2)(x−3)

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② 共通因数を見落とす

例

$$2x^2+4x$$2×2+4x

まず2を出す。$$=2x(x+2)$$=2x(x+2)

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③ 平方根

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平方根とは？

「2乗するとその数になる数」

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例

$\sqrt{9}=3$9​=3

なぜなら、$$3^2=9$$32=9

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マイナスもある

$$(-3)^2=9$$(−3)2=9

なので、

「平方根」は、$$\pm3$$±3

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√の意味

$$\sqrt{a}$$a​

は、

「2乗するとaになる正の数」

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平方根の例

数	平方根
4	±2
9	±3
25	±5

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根号を簡単にする

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例

$$\sqrt{12}$$12​

12を分ける。$$= \sqrt{4\times3}$$=4×3​$$=\sqrt4\sqrt3$$=4​3​$$=2\sqrt3$$=23​

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よく出る形

元	簡単形
$\sqrt8$8​	$2\sqrt2$22​
$\sqrt18$1​8	$3\sqrt2$32​
$\sqrt50$5​0	$5\sqrt2$52​

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根号の計算

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足し算・引き算

同じ√だけ計算できる

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例

$$2\sqrt3+5\sqrt3$$23​+53​$$=7\sqrt3$$=73​

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注意

$$\sqrt2+\sqrt3$$2​+3​

は足せない。

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かけ算

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例

$$\sqrt2\times\sqrt3$$2​×3​

$\sqrt2\times\sqrt3=\sqrt6$2​×3​=6​

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例

$$2\sqrt5\times3\sqrt2$$25​×32​

数字。$$2\times3=6$$2×3=6

根号。$$\sqrt5\times\sqrt2=\sqrt10$$5​×2​=1​0

答え。$$6\sqrt10$$61​0

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割り算

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例

$$\frac{\sqrt8}{\sqrt2}$$2​8​​

$\frac{\sqrt8}{\sqrt2}=\sqrt4=2$2​8​​=4​=2

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有理化

分母の√を消す。

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例

$$\frac{3}{\sqrt2}$$2​3​

上下に$$\sqrt2$$2​

をかける。$$\frac{3\sqrt2}{2}$$232​​

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平方根でよくあるミス

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① 足せないものを足す

NG

$$\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5$$2​+3​=5​

これはダメ。

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② √を外し忘れる

$$\sqrt{16}=4$$16​=4

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③ 有理化ミス

分母だけにかけない。

上下両方。

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定期テストで点数を取るコツ

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① 公式を丸暗記しない

例えば、

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2

$a$a

$b$b

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2

$12^2 = 64 + 32 + 32 + 16 = 144$122=64+32+32+16=144aabb(a+b)a²ababb²

は、

「全部にかける」

からできている。

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② 因数分解は「逆算」

展開できるか考える。

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③ √は「まず簡単にする」

$$\sqrt{12}$$12​

↓$$2\sqrt3$$23​

にしてから計算。

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最後に

中3数学は、

• パターン理解
• 計算処理
• ミス防止

が非常に重要です。

特に、

• 展開⇔因数分解
• 平方根の整理

は、高校数学の基礎になります。

焦らず、

• 途中式を書く
• 符号を確認する
• 公式を使い分ける

ことを意識してください。